समीकरणों की सूची (नियंत्रण तंत्र)

नियंत्रण तंत्र में विभिन्न कार्यों के लिये अनेकानेक समीकरण/सूत्र प्रयोग किये जाते हैं। नीचे कुछ सूत्र दिये गये हैं:

मौलिक समीकरण (Fundamental Equations)

यूलर का सूत्र (Euler's Formula)

$e^{j\omega }=\cos(\omega )+j\sin(\omega )$

कॉनवोलुशन (Convolution

$(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

कॉनवोलुशन प्रमेय (Convolution Theorem)

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

${\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)$

लाक्षणिक समीकरण (Characteristic Equation)

(या, चारित्रिक समीकरण)

$|A-\lambda I|=0$

$Av=\lambda v$

$wA=\lambda w$

डेसीबेल (Decibels)

$dB=20\log(C)$

मूल इनपुट (Basic Inputs) संकेत

यूनिट स्टेप फलन (Unit Step Function)

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.$

यूनिट रैम्प फलन (Unit Ramp Function)

$r(t)=tu(t)$

इकाई परवलयाकार फलन (Unit Parabolic Function)

$p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)$

त्रुटि नियतांक (Error Constants)

स्थिति त्रुटि (Position Error Constant)

$K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)$

$K_{p}=\lim _{z\to 1}G(z)$

वेग त्रुटि नियतांक (Velocity Error Constant)

$K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)$

$K_{v}=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)$

त्वरण त्रुटि नियतांक (Acceleration Error Constant)

$K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)$

$K_{a}=\lim _{z\to 1}(z-1)^{2}G(z)$

तंत्र का विवेचन (System Descriptions)

तंत्र का सामान्य विवेचन (General System Description)

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t,r)x(r)dr$

कॉनवोलुशन द्वारा वर्णन (Convolution Description)

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

ट्रन्सफर फलन द्वारा (Transfer Function Description)

$Y(s)=H(s)X(s)$

$Y(z)=H(z)X(z)$

स्टेट-स्पेस समीकरण द्वारा (State-Space Equations)

$x'=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

ट्रान्सफर मैट्रिक्स (Transfer Matrix)

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

ट्रान्सफर मैट्रिक्स द्वारा तंत्र का वर्णन (Transfer Matrix Description)

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

मैसन का नियम (Mason's Rule)

$M={\frac {y_{out}}{y_{in}}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {M_{k}\Delta \ _{k}}{\Delta \ }}$

फीडबैक लूप (Feedback Loops)

(प्रतिपुष्टि चक्र)

बन्द-लूप ट्रान्सफर फलन (Closed-Loop Transfer Function)

$H_{cl}(s)={\frac {KGp(s)}{1+KGp(s)Gb(s)}}$

खुला-लूप ट्रान्सफर फलन (Open-Loop Transfer Function)

$H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)$

चारित्रिक समीकरण (Characteristic Equation)

$F(s)=1+H_{ol}$

रूपान्तर (Transforms)

लाप्लास का रूपान्तर (Laplace Transform)

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

व्युत्क्रम लापलास रूपान्तर (Inverse Laplace Transform)

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi }}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds$

फुरिए रूपान्तर (Fourier Transform)

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

व्युत्क्रम फुरिए रूपान्तर (Inverse Fourier Transform)

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

स्टार रूपान्तर (Star Transform)

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{i=0}^{\infty }f(iT)e^{-siT}$

जेड रूपान्तर (Z Transform)

$X(z)={\mathcal {Z}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

व्युत्क्रम जेड रूपान्तर (Inverse Z Transform)

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\$

परिवर्तित जेड रूपान्तर (Modified Z Transform)

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

रूपान्तर सम्बन्धी प्रमेय (Transform Theorems)

अन्तिम मान प्रमेय (Final Value Theorem)

$x(\infty )=\lim _{s\to 0}sX(s)$

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z)$

आदि मान प्रमेय (Initial Value Theorem)

$x(0)=\lim _{s\to \infty }sX(s)$

स्टेट-स्पेस विधि (State-Space Methods)

सामान्य स्टेट-स्पेस हल (General State Equation Solution)

$x(t)=e^{At-t_{0}}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

$x[n]=A^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}A^{n-1-m}Bu[n]$

सामान्य ऑउटपुत समीकरण हल (General Output Equation Solution)

$y(t)=Ce^{At-t_{0}}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

$y[n]=CA^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}CA^{n-1-m}Bu[n]+Du[n]$

Time-Variant General Solution

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )u(\tau )d\tau$

$x[n]=\phi [n,n_{0}]x[t_{0}]+\sum _{m=n_{0}}^{n}\phi [n,m+1]B[m]u[m]$

Impulse Response Matrix

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(\tau )\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}N&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

मूल का बिन्दुपथ (Root Locus)

मापांक समीकरण (The Magnitude Equation)

$1+KG(s)H(s)=0$

$1+K{\overline {GH}}(z)=0$

कोण समीकरण (The Angle Equation)

$\angle KG(s)H(s)=180^{\circ }$

$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }$

असीमटोट की संख्या (Number of Asymptotes)

$N_{a}=P-Z$

असीमटोट का कोण (Angle of Asymptotes)

$\phi _{k}=(2k+1){\frac {\pi }{P-Z}}$

असीमटोटों का मूल (Origin of Asymptotes)

$\sigma _{0}={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}$

विभक्त होने का स्थान (Breakaway Point Locations)

${\frac {G(s)H(s)}{ds}}=0$ or ${\frac {{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

लियापुनोव स्थायित्व (Lyapunov Stability)

लियापुनोव समीकरण (Lyapunov Equation)

$MA+A^{T}M=-N$

कन्ट्रोलर एवं कम्पन्सेटर (Controllers and Compensators)

पीआईडी (PID) कन्ट्रोलर

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

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