नियंत्रण तंत्र में विभिन्न कार्यों के लिये अनेकानेक समीकरण/सूत्र प्रयोग किये जाते हैं। नीचे कुछ सूत्र दिये गये हैं:
मौलिक समीकरण (Fundamental Equations)[सम्पादन]
यूलर का सूत्र (Euler's Formula)[सम्पादन]
![{\displaystyle e^{j\omega }=\cos(\omega )+j\sin(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60eecd9b0834c5aada6ca99e362b12a976c0bb2)
कॉनवोलुशन (Convolution[सम्पादन]
![{\displaystyle (a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37624814d2afda30d093e43d0cc80c8b71f650d1)
कॉनवोलुशन प्रमेय (Convolution Theorem)[सम्पादन]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da7a021eb1cc9ce933aee9c48544308fd9aea4b)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a5783272e7260e8336adb5853f8a66ffc23d02)
लाक्षणिक समीकरण (Characteristic Equation)[सम्पादन]
(या, चारित्रिक समीकरण)
![{\displaystyle |A-\lambda I|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f51f610b43bbf9a5d794d835b70fa145befb412)
![{\displaystyle Av=\lambda v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7a927ca654271e6607c7f9cded57fea70c1d71)
![{\displaystyle wA=\lambda w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10480f7fcd86ec3430ec156f5a1e70cfa1095139)
डेसीबेल (Decibels)[सम्पादन]
![{\displaystyle dB=20\log(C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6c44cfd91bf2b18be7c0b4a8eea2ba7b4c3bbb)
मूल इनपुट (Basic Inputs) संकेत[सम्पादन]
यूनिट स्टेप फलन (Unit Step Function)[सम्पादन]
![{\displaystyle u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b84efcc43e7307ceed8c2118d39b92bfd3a546a)
यूनिट रैम्प फलन (Unit Ramp Function)[सम्पादन]
![{\displaystyle r(t)=tu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bcff90c3af5d4a9b1aaa38f6093e52cef35606)
इकाई परवलयाकार फलन (Unit Parabolic Function)[सम्पादन]
![{\displaystyle p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05fb83a195ff5a4c94e82ee69526bec5e552995)
त्रुटि नियतांक (Error Constants)[सम्पादन]
स्थिति त्रुटि (Position Error Constant)[सम्पादन]
![{\displaystyle K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fd5a11cf33ea73f0e55d680fde305ad11f3b9d)
![{\displaystyle K_{p}=\lim _{z\to 1}G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f84f5cf08b2c228044c8937f8be49629645d730)
वेग त्रुटि नियतांक (Velocity Error Constant)[सम्पादन]
![{\displaystyle K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5380058865c2ad994ba9674005ddb6cd78254b0)
![{\displaystyle K_{v}=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd83f37192b0433e9879cce3510cfea201e6764)
त्वरण त्रुटि नियतांक (Acceleration Error Constant)[सम्पादन]
![{\displaystyle K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6ca0971d74d1d06459a509fdd2eef5ed84ab5f)
![{\displaystyle K_{a}=\lim _{z\to 1}(z-1)^{2}G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d042fa422899ca1bbe438a656d367c8884dae4c)
तंत्र का विवेचन (System Descriptions)[सम्पादन]
तंत्र का सामान्य विवेचन (General System Description)[सम्पादन]
![{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t,r)x(r)dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f244ac51c08727a8b817bc8459fad655af187b)
कॉनवोलुशन द्वारा वर्णन (Convolution Description)[सम्पादन]
![{\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0cc1926630de2aee6de55a352bae63bb84c9d9)
ट्रन्सफर फलन द्वारा (Transfer Function Description)[सम्पादन]
![{\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d03acf1580643b32259a9fc2aad66a9de6f1fc)
![{\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65365e6239799a82e1bdb93cecdcb656e6a2e4f1)
स्टेट-स्पेस समीकरण द्वारा (State-Space Equations)[सम्पादन]
![{\displaystyle x'=A(t)x(t)+B(t)u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dc5cf908da5f8ba132ff0b8d22d067be50b712)
![{\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f2a7ee9e31be65b0ae12c28cb9135422650507)
ट्रान्सफर मैट्रिक्स (Transfer Matrix)[सम्पादन]
![{\displaystyle C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37ee2188135370b2d768fcf965161d688cd12f6)
![{\displaystyle C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151e79dc41cb1fb26cf6964a0f9621bd4b69c7a1)
ट्रान्सफर मैट्रिक्स द्वारा तंत्र का वर्णन (Transfer Matrix Description)[सम्पादन]
![{\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd21c06a446e2a607b99b2459e28216672f3e03)
![{\displaystyle \mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9756c2b11c2b01ba4dc3d72a7de7f0c7b6a2bc22)
मैसन का नियम (Mason's Rule)[सम्पादन]
![{\displaystyle M={\frac {y_{out}}{y_{in}}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {M_{k}\Delta \ _{k}}{\Delta \ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439363f977707bc007705a557ee8386c56663726)
फीडबैक लूप (Feedback Loops)[सम्पादन]
(प्रतिपुष्टि चक्र)
बन्द-लूप ट्रान्सफर फलन (Closed-Loop Transfer Function)[सम्पादन]
![{\displaystyle H_{cl}(s)={\frac {KGp(s)}{1+KGp(s)Gb(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cded91579c0cc823bdbeab8e735de1a311438f39)
खुला-लूप ट्रान्सफर फलन (Open-Loop Transfer Function)[सम्पादन]
![{\displaystyle H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd6ce11ef53d7becc30adac78ca182507a723fd)
चारित्रिक समीकरण (Characteristic Equation)[सम्पादन]
![{\displaystyle F(s)=1+H_{ol}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da792c4a775d005cb44dd39840fa250553278b5)
रूपान्तर (Transforms)[सम्पादन]
लाप्लास का रूपान्तर (Laplace Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c38c98774feaf400f8af0dab5f8aed8aed5d06f)
व्युत्क्रम लापलास रूपान्तर (Inverse Laplace Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi }}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9593fdbaee2e4a2df773ac19b85e2500c4ff86a9)
फुरिए रूपान्तर (Fourier Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccad40df03382f6ead04ba196a52314f1b7a4291)
व्युत्क्रम फुरिए रूपान्तर (Inverse Fourier Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6f167006932cfa8a369cd57346878544e47c74)
स्टार रूपान्तर (Star Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{i=0}^{\infty }f(iT)e^{-siT}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b1617367f1700032ffd3f5b8720159699648ed)
जेड रूपान्तर (Z Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2109d64c2b69a9a5104d600e08fc9b4267360b)
व्युत्क्रम जेड रूपान्तर (Inverse Z Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2de87f7a38f4c6528c53a5883b209edf50d3a62)
परिवर्तित जेड रूपान्तर (Modified Z Transform)[सम्पादन]
![{\displaystyle X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85540c08a77b2c40043f7f7e84c0ed56437bb4a9)
रूपान्तर सम्बन्धी प्रमेय (Transform Theorems)[सम्पादन]
अन्तिम मान प्रमेय (Final Value Theorem)[सम्पादन]
![{\displaystyle x(\infty )=\lim _{s\to 0}sX(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecf16144dc5609d2031070c7f5d109e96756063)
![{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f34e1769d16e186e49651f66f4401a8c589b3e)
आदि मान प्रमेय (Initial Value Theorem)[सम्पादन]
![{\displaystyle x(0)=\lim _{s\to \infty }sX(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b7bcdefb533d9f67b113da38fcac2067998415)
स्टेट-स्पेस विधि (State-Space Methods)[सम्पादन]
सामान्य स्टेट-स्पेस हल (General State Equation Solution)[सम्पादन]
![{\displaystyle x(t)=e^{At-t_{0}}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227e8bef8dabc3c4eb963338b95ac146c8c6c0f1)
![{\displaystyle x[n]=A^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}A^{n-1-m}Bu[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37dfa3802c72fcf32ac7e379d52ae691154fad04)
सामान्य ऑउटपुत समीकरण हल (General Output Equation Solution)[सम्पादन]
![{\displaystyle y(t)=Ce^{At-t_{0}}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3ab49fa2810457aea35041aeead410121703f3)
![{\displaystyle y[n]=CA^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}CA^{n-1-m}Bu[n]+Du[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c5007961a18ea382ac3c879331fb4e87873560)
Time-Variant General Solution[सम्पादन]
![{\displaystyle x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )u(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bac87ba32a08f20b86afcfef5e30250743a5f71)
![{\displaystyle x[n]=\phi [n,n_{0}]x[t_{0}]+\sum _{m=n_{0}}^{n}\phi [n,m+1]B[m]u[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44156ca6ba03d51f16817e0cd51292ca38563a80)
Impulse Response Matrix[सम्पादन]
![{\displaystyle G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(\tau )\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c1be894cdcd9c173a7db20e810ad64401ed675)
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}N&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90177e0e9300b0985968117dde9fa1f3a5aec597)
मूल का बिन्दुपथ (Root Locus)[सम्पादन]
मापांक समीकरण (The Magnitude Equation)[सम्पादन]
![{\displaystyle 1+KG(s)H(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f858d1aa831e68a9eb55ff29fa7dce33873e335)
![{\displaystyle 1+K{\overline {GH}}(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ddb513cef225a991684cbc2e1015daac2fdb2f)
कोण समीकरण (The Angle Equation)[सम्पादन]
![{\displaystyle \angle KG(s)H(s)=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da83f47186c5a4c5cd8b5c74eafa83fd799fe1e)
![{\displaystyle \angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19244a89377754806ba54a6133db0350fdab818e)
असीमटोट की संख्या (Number of Asymptotes)[सम्पादन]
![{\displaystyle N_{a}=P-Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729b7f7a7cb0d8c96aabe18ab270b182c7ae28c4)
असीमटोट का कोण (Angle of Asymptotes)[सम्पादन]
![{\displaystyle \phi _{k}=(2k+1){\frac {\pi }{P-Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779850abfb04893e9a95931999b9367572022352)
असीमटोटों का मूल (Origin of Asymptotes)[सम्पादन]
![{\displaystyle \sigma _{0}={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd8622e248784d84bc2acff3e2da7de301aa5d3)
विभक्त होने का स्थान (Breakaway Point Locations)[सम्पादन]
or ![{\displaystyle {\frac {{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5837f13b9ff48d4ef233918c2bc505dd912c3488)
लियापुनोव स्थायित्व (Lyapunov Stability)[सम्पादन]
लियापुनोव समीकरण (Lyapunov Equation)[सम्पादन]
![{\displaystyle MA+A^{T}M=-N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccfc49b401be6fa8ee8c34f48a52aeb66211343)
कन्ट्रोलर एवं कम्पन्सेटर (Controllers and Compensators)[सम्पादन]
पीआईडी (PID) कन्ट्रोलर[सम्पादन]
![{\displaystyle D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c132488c15593297ba8b6608d22882b048ea7536)
![{\displaystyle D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafdc2121c235d8b68ee53d6103c157ef86057ac)
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