Mandelbrot set

मैंडलब्रोट सेट एक दो-आयामी सेट है जिसकी परिभाषा सरल है लेकिन जिसमें बढ़ती जटिलता दिखाई देती है, विशेषकर जब इसे बढ़ाया जाता है। यह अपने सौन्दर्य दृश्य और फ्रैक्टल संरचनाओं के लिए प्रसिद्ध है। सेट को कॉम्प्लेक्स प्लेन में कॉम्प्लेक्स नम्बर $c$ के रूप में परिभाषित किया गया है जिनके लिए फंक्शन $f_{c}(z)=z^{2}+c$ अनन्त की ओर विचलन नहीं करता जब $z=0$ से पुनरावर्तन किया जाता है, यानी, जिनके लिए अनुक्रम $f_{c}(0)$ , $f_{c}(f_{c}(0))$ , आदि, निरपेक्ष मान में सीमित रहता है।

मैंडलब्रोट सेट को पहले 1978 में Robert W. Brooks और Peter Matelski ने Kleinian groups के अध्ययन के हिस्से के रूप में परिभाषित और ड्रॉ किया था। उसके बाद, 1980 में, Benoit Mandelbrot ने उच्च-गुणवत्ता वाले विज़ुअलाइज़ेशन प्राप्त किए जब वह यॉर्कटाउन हाइट्स, न्यूयॉर्क में IBM के Thomas J. Watson Research Center में काम कर रहे थे।

इतिहास[सम्पादन]

मैंडलब्रोट सेट की उत्पत्ति complex dynamics से है, जिसे 20वीं सदी के शुरू में Pierre Fatou और Gaston Julia ने शुरू किया था। फ्रैक्टल को पहले 1978 में Robert W. Brooks और Peter Matelski ने एक Kleinian groups के अध्ययन के हिस्से के रूप में परिभाषित और ड्रॉ किया था। 1 मार्च, 1980 को, IBM के Thomas J. Watson Research Center में Yorktown Heights, New York, Benoit Mandelbrot ने पहले सेट को विज़ुअलाइज़ किया।

मैंडलब्रोट ने quadratic polynomials के parameter space का अध्ययन किया एक लेख में जो 1980 में प्रकाशित हुआ था। इस सेट के मूलभूत गुणों को स्थापित करने और मैंडलब्रोट के सम्मान में इस सेट का नाम देने वाले मैथेमैटिशियन Adrien Douady और John H. Hubbard (1985) थे।

फॉर्मल परिभाषा[सम्पादन]

मैंडलब्रोट सेट complex plane में वे मान $c$ का सेट है जहाँ ओर्बिट के क्रिटिकल पॉइंट $z=0$ quadratic map के तहत पुनरावर्तन के दौरान सीमित रहता है:

$z\mapsto z^{2}+c$

इसलिए, एक complex number $c$ मैंडलब्रोट सेट का सदस्य है अगर, $z_{0}=0$ से शुरू करके और पुनरावर्तन को बार-बार लागू करके, $z_{n}$ का absolute value हर $n>0$ के लिए सीमित रहता है।

उदाहरण के लिए, $c$ = 1 के लिए, अनुक्रम 0, 1, 2, 5, 26, ... है, जो अनन्त की ओर जाता है, इसलिए 1 मैंडलब्रोट सेट का तत्व नहीं है। इसके विपरीत, $c=-1$ के लिए, अनुक्रम 0, −1, 0, −1, 0, ... है, जो सीमित है, इसलिए −1 सेट में आता है।